Los enunciados a los que se les llama proposiciones son aquellos a los que se les puede asignar un valor de verdad. Por ejemplo, de la enunciación “las matemáticas útiles” no se puede decir que es verdadera o falsa, porque no afirma nada, pero de los enunciados “las matemáticas son útiles” o “las matemáticas útiles son las únicas que existen” sí se puede argüir en un sentido o en otro.

A veces, los valores de verdad se sustentan en un cúmulo de evidencias, como es el caso del enunciado “el cambio climático es real”, al que consideramos verdadero porque durante años, grupos de investigación de todo el mundo han encontrado pruebas de cómo las actividades humanas han modificado el clima de nuestro planeta. Aunque otras veces, el valor de verdad se sustenta en el consenso: piensen en una afirmación como “manipular a las personas es incorrecto”, que solemos aceptar y suscribir, aun sin evidencia que la respalde.

Enunciados simples como los anteriores los podemos unir mediante conectores lógicos para conformar proposiciones compuestas que pueden ser de tipo conjunción, disyunción, condicional o bicondicional, además de la negación, que también es compuesta a pesar de que no se construye mediante conectores. A todas estas proposiciones se les puede asignar un valor de verdad.

Negación. Empecemos por la negación: “no esto” es equivalente a decir “no es cierto que esto”. El valor de verdad de la negación de un enunciado se define en función del valor de verdad del enunciado que está negando: si un enunciado es verdadero, su negación es falsa; y si un enunciado es falso, su negación es verdadera. Si designamos dicho enunciado con una letra, el trabalenguas anterior se puede resumir en la siguiente matriz a la que conocemos como tabla de verdad.

Este es quizá el tipo de proposición que causa más confusiones porque la negación no funciona exactamente igual en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Para empezar, porque en matemáticas las definiciones tienen significados únicos, de cualquier cosa podemos decir que es o no es. Por ejemplo, con excepción del cero, de un número cualquiera podemos decir que “es mayor que cero” o que “no es mayor que cero”. Pero en la vida cotidiana hay una rica escala de grises con la que podemos interpretar los enunciados. Por ejemplo, un “no llegaré tarde” lo interpretamos como “llegaré a tiempo”, cuando en realidad puede tratarse de un “no llegaré tarde porque ni siquiera voy a llegar”. Una manera de ahorrarnos malentendidos es dejando de entender las negaciones como opuestos: “no te amo” significa “no es cierto que te ame”, y no necesariamente “te odio” o “amo a alguien más”.

Doble negación. En lógica, dos negaciones se cancelan mutuamente, es decir, ¬ (¬P) es equivalente a decir simplemente P, pero en español no. Cuando queremos decir que no hubo asistentes, usamos la frase “no vino nadie”, que contiene dos negaciones. Si una computadora analizara esta frase, primero la descompondría en dos unidades “no” y “vino nadie”, y entendería que se trata de la negación de “vino nadie”. Ahora, como “vino nadie” significa “vinieron cero personas”, entonces “no vino nadie” se interpreta como “no es cierto que vinieron cero personas”, y esto significa que tuvo que haber venido al menos una. O sea que sí hubo asistentes. A veces parece que la sintaxis y la semántica no acaban de coincidir, y por eso es por lo que los consensos son necesarios, porque establecen un punto de partida común.

Conjunción. Como su nombre lo sugiere, las conjunciones son aquellas proposiciones en las que se conjuntan dos enunciados. Por ejemplo, podemos conjuntar los enunciados “los triángulos son figuras rectilíneas” y “los cuadrados son figuras rectilíneas” y obtenemos la proposición “los triángulos y los cuadrados son figuras rectilíneas”. Este tipo de proposición se denota como P∧Q (se lee como P y Q) y sólo es verdadera cuando ambos enunciados son verdaderos, como aquí. En todos los demás casos se considera falsa; por ejemplo: “los triángulos y los círculos son figuras rectilíneas” o “las elipses y los triángulos son figuras rectilíneas” o “las elipses y los círculos son figuras rectilíneas”.

Disyunción. Una disyunción tiene la forma esto o aquello, se denota P∨Q (se lee como P o Q) y sólo es falsa cuando ambos enunciados son falsos, en todos los

demás casos es verdadera. El uso de la disyunción en lenguaje cotidiano puede ocasionar confusiones porque se le asocia con un sentido inclusivo y uno exclusivo. En el caso del sentido exclusivo, es necesario escoger una opción: “voy a inscribirme al curso o no voy a inscribirme al curso”. Aquí hay que elegir porque no se puede hacer las dos cosas al mismo tiempo. En el caso del sentido inclusivo, las opciones pueden coexistir: “las alternativas de desayuno son jugo o fruta”. Aquí hay más diversidad de opciones porque podemos optar por la fruta o por el jugo o elegir ambas cosas, aunque quizá haya que pagar algo extra.

Condicional o implicación. Luego están las condicionales o implicaciones que escribimos de la forma P ➝ Q y podemos leer así:

En la implicación P ➝ Q, al enunciado P se le llama antecedente, y al Q, consecuente, y la implicación sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa. Es muy importante reconocer que el antecedente y el consecuente no son intercambiables, es decir, que P ➝ Q no es equivalente a Q ➝  P, salvo en casos muy especiales, y esto puede comprobarse con las respectivas tablas de verdad.

Si el antecedente es verdadero, el consecuente también debe serlo para que la implicación sea verdadera; pero el consecuente puede ser verdadero sin necesidad de que el antecedente también lo sea. Para aclarar esta idea, veamos el siguiente ejemplo. “Si estoy triste, entonces lloro” será un enunciado falso si estoy triste y no lloro. En cambio, será verdadero 1) si estoy triste y lloro, 2) si no estoy triste y no lloro, 3) si no estoy triste y aun así lloro porque puedo hacerlo por otros motivos.

Este tipo de proposiciones son todo un reto para el lenguaje cotidiano porque confundimos la relación antecedente-consecuente con una relación causa-efecto. La relación causal requiere de un orden en el tiempo que va del antecedente al consecuente: P es una causa, y Q es el efecto esperado de esa causa. La relación antecedente-consecuente, en cambio, no requiere de una secuencia temporal y se interpreta como que Q es una conclusión lógica de P. En el caso de la proposición “si llueve, entonces está nublado”, la lluvia implica las nubes, pero no las causa. La que sí es una relación causal es que el vapor de agua en las nubes se condense y empiece a caer en forma de gotas.

Bicondicional o implicación doble. Por último, las proposiciones bicondicionales o implicaciones dobles, señalan condiciones necesarias y suficientes para algo. Son una conjunción de la implicación en un sentido y la implicación en el otro sentido, es decir, (P ➝  Q) ∧ (Q ➝  P). Esto lo denotamos con una flecha doble entre ambos enunciados P ↔  Q y solemos leerlo como P si y sólo si Q. Este tipo de proposiciones son verdaderas cuando ambos enunciados son verdaderos o cuando ambos son falsos.

Es muy fácil encontrar ejemplos matemáticos de estas implicaciones dobles, uno de ellos es el famosísimo teorema de Pitágoras y su inverso: “en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” y “si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual al cuadrado del tercero, ese triángulo es rectángulo”.

En el lenguaje cotidiano es menos fácil encontrar ejemplos, pero los hay. Veamos la siguiente proposición: “eres mayor de edad si y sólo si tienes 18 años”. Parece que es bicondicional, pero no lo es porque es verdad que si tienes 18 años eres mayor de edad, pero si eres mayor de edad no necesariamente tienes 18 años, puedes tener 25. Una forma de redactarlo para que sí sea bicondicional es “eres mayor de edad si y sólo si tienes 18 años o más”.

A veces, es complicado no enfocarnos en el significado de un enunciado para entender la estructura de la proposición. Por ejemplo, “los bebés se ven coquetos si usan traje de baño” es una proposición que tiene la estructura de una implicación y se le puede asignar un valor de verdad, pero es un tanto difícil dejar de pensar en detalles como qué significa que un bebé se vea coqueto, por ejemplo, y cómo puedo darle un valor de verdad a esa aseveración. La estructura atañe a la lógica formal, y el significado es por donde la lógica informal entra a complementar el análisis. Todos los días echamos mano, aun sin darnos cuenta, de elementos de la lógica formal y la lógica informal para construir nuestros discursos y para hacer juicios a partir de los discursos de las demás personas. Piensen en las veces que suponen que pasará algo y no ocurre (negación); o en las veces que han dudado de la palabra de una persona que les promete dos cosas y sólo cumple una (conjunción); o cuando les ha tranquilizado saber que alguien cumplió al menos una de sus promesas (disyuntiva); o cuando comprobaron que, si hacían algo, entonces pasaría alguna otra cosa (condicional).

Además de asignarles valores de verdad, a las proposiciones se les puede entretejer para construir argumentos cuya validez podemos verificar a partir de reglas de inferencia. Un argumento es válido, correcto o fuerte cuando la conclusión se deriva de las premisas o, dicho de otra forma, cuando las premisas justifican la conclusión.

Retomemos el ejemplo del bebé y analicemos cómo están construidos los siguientes argumentos: “los bebés se ven coquetos si van a nadar porque usan traje de baño si van a nadar y se ven coquetos si usan traje de baño”. Reconozcamos primero que las premisas son los enunciados “los bebés usan traje de baño si van a nadar” y “se ven coquetos si usan traje de baño”, mientras que la conclusión es “los bebés se ven coquetos si van a nadar”. Cada premisa y la conclusión tienen la estructura de una implicación.

En la primera premisa, tenemos que “los bebés usan traje de baño (Q) si van a nadar (P)”. En la segunda premisa tenemos que “los bebés se ven coquetos (R) si usan traje de baño (Q)”. Finalmente, en la conclusión tenemos que “los bebés se ven coquetos (R) si van a nadar (P)”. Este razonamiento en conjunto tiene la siguiente estructura: P ➝  R porque P ➝  Q y Q ➝  R. A esta estructura se le llama transitividad y es una forma de argumentación válida.

Veamos ahora este otro argumento. “Los bebés se ven coquetos si usan traje de baño. El bebé Eli trae traje de baño, así que Eli se ve coqueto.” Aquí las premisas son que “los bebés se ven coquetos (Q) si usan traje de baño (P)” y que “Eli es un bebé en traje de baño (P)”, mientras que la conclusión es que “Eli se ve coqueto (Q)”.

Este argumento tiene la forma de una regla de inferencia llamada modus ponendo ponens o simplemente modus ponens, que se traduce del latín como el método que al afirmar (el antecedente), afirma (el consecuente). La regla dice que en una estructura del tipo P  ➝ Q, si tengo P entonces puedo aceptar Q. La regla de inferencia es válida, por lo tanto, el argumento anterior también lo es. Formalmente se escribe así:

“Los bebés se ven coquetos si van a nadar porque el traje de baño los hace verse coquetos.” ¿Este argumento está bien construido? Aquí tenemos la misma conclusión, que los bebés se ven coquetos si van a nadar, aunque sólo hay una premisa y es que el traje de baño hace ver coquetos a los bebés. Si bien hay una premisa implícita –que los bebés usan traje de baño si van a nadar–, ésta no forma parte del argumento, y tomarla en cuenta puede hacernos caer en un malentendido. La premisa y la conclusión no están vinculadas de manera inequívoca; por lo tanto, este no es un buen argumento.

Muchos desacuerdos cotidianos tienen que ver con premisas implícitas. Piensen en alguien que les dice que es muy cortés y que nunca les ofrece ayuda para cargar las bolsas del supermercado. ¿Les molestaría su actitud? ¿Empezarían a considerarla una persona descortés? ¿Por qué, si nunca especificó que cargar las bolsas del supermercado entrara en su concepción de cortesía? Un argumento con premisas implícitas es considerado un argumento débil e incluso no válido, aun cuando esas premisas parezcan obvias.

Continuemos con esta otra estructura argumentativa: “Los bebés se ven coquetos (Q) si van a nadar (P). El bebé Eli no se ve coqueto (¬Q), así que no fue a nadar (¬P)”. Este argumento tiene la forma de otra regla de inferencia lógica que se llama

modus tollendo tollens o sólo modus tollens, que en latín significa: el modo que al negar (el consecuente), niega (el antecedente). Otro ejemplo de lo más cotidiano de este tipo de argumentos es el típico ultimátum que recibimos en nuestra infancia a la hora de la comida: cuando la regla es que “si nos terminamos lo que nos sirvieron, nos dejan comer postre”, y si resulta que no nos dieron postre, podemos inferir que es porque no nos terminamos lo que nos sirvieron. Formalmente se escribe así:

El modus ponens y el modus tollens son dos formas de argumentación equivalentes porque su estructura básica también lo es: ambas tienen como primeras premisas implicaciones que son equivalentes P ➝  Q y ¬Q ➝ ¬P y las segundas premisas son los antecedentes de sus respectivas implicaciones, P y ¬Q.

Analicemos ahora este otro argumento: “Los bebés se ven coquetos si van a nadar. El bebé Eli se ve coqueto hoy, así que fue a nadar”. ¿Qué dirían de su validez? Un error común alrededor de la regla del modus ponens es suponer que si sabemos que P ➝ Q y tenemos Q, entonces podemos inferir P. Este argumento no es válido porque de premisas ciertas se puede deducir una conclusión falsa. En este caso, suponiendo que es verdad que los bebés se ven coquetos si van a nadar y que el bebé se ve coqueto, no podemos asegurar que es porque fue a nadar, podría ser porque lo llevaron a una fiesta. Recordemos el típico ejemplo de la prepa: “Cuando llueve, el piso se moja. Si el piso está mojado, seguro es porque ha llovido”. Aunque aceptemos como verdadero que el piso se moja cuando llueve, un piso mojado no es garantía de que haya llovido. Estos son ejemplos de argumentos inválidos o falaces a los que se conoce como la afirmación del consecuente, y el error consiste en suponer que la implicación es reversible.

Por otro lado, está la estructura argumentativa llamada modus tollendo ponens, también conocida como la eliminación de la disyunción. En este tipo de argumento se

parte de una disyunción, y uno de los enunciados se infiere de la negación del otro. Por ejemplo, “la vestimenta es traje (P) o vestido (Q)”. “Si Fer no se puso traje (¬P), entonces podemos inferir que se puso vestido (Q).” Del mismo modo, si tenemos que no se puso vestido (¬Q), entonces podemos inferir que se puso traje (P).

Así, la transitividad, el modus ponens, el modus tollendo tollens y el modus tollendo ponens son reglas del razonamiento deductivo que ayudan a verificar la verdad de una conclusión a partir de la verdad de las premisas. Otros tipos de razonamiento lógico son el abductivo y el inductivo.

El razonamiento abductivo es aquel que, a partir de una conclusión y una regla, esboza premisas que, de ser ciertas, puedan sustentar la conclusión. Por ejemplo, si decimos que “los bebés se ven coquetos cuando van a nadar” y que “el bebé Eli se ve coqueto”, entonces “podría ser que es porque fue a nadar”. Aunque parece que en este argumento estamos afirmando el consecuente, fíjense que no se da por hecho que “el bebé Eli se ve coqueto porque fue a nadar”, sino que haberse ido a nadar podría ser la razón por la que se ve coqueto, y se deja abierta la posibilidad a que haya otras. A este tipo de argumento también se le conoce como la inferencia de la mejor explicación, y en ciencia se usa para desarrollar hipótesis que luego se ponen a prueba por medio de experimentos o razonamientos deductivos. El problema con este argumento es que la mejor explicación no necesariamente es la real.

Por otro lado, está el razonamiento inductivo, que parte de premisas individuales para generalizar una conclusión verdadera probabilísticamente hablando. A diferencia del razonamiento deductivo, en el que de premisas verdaderas se infieren conclusiones verdaderas, en el razonamiento inductivo se parte de premisas verdaderas para obtener conclusiones que muy probablemente son verdaderas. En este caso la verdad de la conclusión no es un hecho, sino una probabilidad. Por ejemplo, si el bebé se pone traje de baño muy seguido y vemos que todas las veces se ha visto coqueto, entonces podemos afirmar que se ve coqueto en traje de baño. El problema con este argumento es que no se puede definir con precisión cuántas veces es el ideal para sustentar la generalización, como tampoco podemos garantizar que algo que ocurrió en el pasado se mantenga en el futuro. Aun así, los argumentos inductivos pueden ser fuertes y esto ocurre cuando es altamente improbable que su conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas, como en este caso: “la leche sin refrigeración se echa a perder; ayer dejé la leche en la mesa, seguro se echó a perder”.

El razonamiento inductivo también incluye al razonamiento por analogía, que es en el que se establece una similitud entre dos situaciones, objetos o ideas y se deduce que lo que es válido para una, va a ser válido para la otra. Por ejemplo, suponer que Juan se enfermará como los demás comensales porque comió lo mismo. Este caso es la aplicación de una generalización a un caso particular, el de Juan. Los médicos usan este tipo de razonamiento todo el tiempo pues, como saben cuáles han sido los efectos de un medicamento en sus pacientes anteriores, suponen que el efecto en el siguiente paciente será similar.

El razonamiento por analogía y el inductivo se obtienen de la experiencia, y –aunque pueden ser muy persuasivos– son formas de argumentación débil porque la verdad de las premisas no garantiza la verdad de la conclusión. Por ejemplo, Juan podría comer lo mismo que las demás personas y no enfermarse porque tiene una flora intestinal muy fuerte, y un medicamento no necesariamente va a actuar en dos pacientes de la misma manera (razón por la cual, no debemos automedicarnos, por cierto).

Cuando necesitamos tomar una decisión sobre algo a partir de un argumento, lo recomendable es detenernos a entender las razones que nos presentan y analizar qué puede deducirse de ellas. En el lenguaje cotidiano, las premisas y las conclusiones no vienen etiquetadas de esa manera, aun así, podemos identificar premisas por medio de expresiones como debido a, ya que, por, porque o pues; mientras que las conclusiones están asociadas con enunciaciones como por lo tanto, así que, luego, por consiguiente y en consecuencia, entre otras.

Así como no todas las enunciaciones son proposiciones, no todos los grupos de enunciados constituyen argumentos. Un argumento es la expresión lingüística de un razonamiento, es decir, un conjunto de razones que nos hacen creer o aceptar algo. Imaginen que están en una tienda y que están indecisos entre dos marcas de televisores. Un vendedor se les acerca y les da una lista de ventajas y desventajas de dos modelos. Toda esa lista de enunciados puede ayudarles a tomar una decisión, pero realmente no se puede extraer una conclusión de ellos, así que no constituyen un argumento.

Un argumento consistente es aquel que está bien construido y sostiene una conclusión, es decir, si cumple estas tres propiedades: es válido desde el punto de vista lógico, se construye a partir de premisas debidamente justificadas e incluye toda la información relevante. Los argumentos sustentan conclusiones, no verifican premisas, pues éstas se dan por ciertas. Si no estamos de acuerdo con alguna premisa, entonces podríamos construir otro argumento en el que esa premisa sea la conclusión.

Muchas veces nos es difícil aceptar tanto premisas como conclusiones porque no encajan en nuestro sistema de creencias o lo ponen en duda. Si en lugar de utilizar el ejemplo de “los bebés se ven coquetos en traje de baño”, hubiera dicho “los elefantes se ven coquetos en traje de baño”, ¿habrían estado de acuerdo conmigo? Para algunos habría sido difícil aceptar la validez de los argumentos porque el significado de

tal enunciado parecería no tener sentido y podrían haberse distraído en imaginar cómo se vería un elefante en traje de baño. Esto pasa porque todo el tiempo, incluso de manera inconsciente, nuestras creencias sopesan premisas y conclusiones, con independencia de cómo éstas conformen un argumento. Piensen en este otro ejemplo: “Romeo ama a Julieta. Julieta es una palabra de siete letras. Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras”. Las premisas son ciertas, el argumento está bien construido y, sin embargo, la conclusión no encaja en los sistemas de creencias de la mayoría de las personas. Esa conclusión aparentemente absurda no lo es tanto, porque cada enunciado habla de una Julieta diferente, pero igual nos hace poner más atención a lo que estamos leyendo.

Por ello, si queremos ser críticos y hacer buenos juicios, lo primero que necesitamos es ser conscientes de nuestras creencias. Para empezar, habría que identificar si se trata de hechos, como saber que el agua de mar es salada, o de valores, como cuando suponemos que un pasatiempo es mejor que otro. También hay que reconocer que pueden ser falsas por más que las justifiquemos y que pueden representar sólo casos particulares, como cuando decimos que el jugo de naranja ayuda a curar la gripa. Además, habría que determinar si se sostienen firmemente o son más bien endebles, como nuestra disposición a respetar las leyes. Quizá lo más sustancial sea reconocer que nuestras creencias, en conjunto, constituyen nuestra manera de ver el mundo y nuestra filosofía, y por lo tanto son la base a partir de la cual nos comunicamos y tomamos decisiones respecto a qué creer y qué no.

Construir nuestro conjunto de creencias no sólo se trata de acumular creencias, sino de revisarlas y depurarlas de manera regular o conservarlas si tenemos razones suficientes para seguirlas teniendo. Contrario a lo que dice el dicho, la ignorancia no es una bendición, porque nos hace incapaces de evaluar inteligentemente afirmaciones, premisas, argumentos y todo tipo de peroratas a las que estamos expuestos todos los días. Cuando se trata de valorar argumentos y tomar decisiones, no podemos hacer uso de creencias relevantes si no las tenemos, así como tampoco podemos hacer buenos juicios si nuestras creencias entorpecen nuestro razonamiento.♦

VEGA, Luis, y Olmos, Paula. (2016). Compendio de lógica, argumentación y retórica. Editorial Trotta

WESTON, Anthony (2001). Las claves de la argumentación. Ariel