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Una conjetura es una afirmación que parece razonable, pero cuya veracidad no se ha demostrado; es decir, aún no ha sido justificada convincentemente y no se sabe de algún ejemplo que la contradiga, ni se sabe que haya tenido consecuencias que sean falsas. La conjetura de Goldbach es una de las más famosas conjeturas matemáticas. A diferencia de otras, es fácil de enunciar, y los intentos para justificarla han sido fuente de métodos y resultados secundarios. Esto es típico en toda conjetura importante.
No todas las conjeturas tienen la misma importancia; de hecho, la mayoría son falsas y se modifican casi tan pronto como se formulan. No obstante, conjeturar, aunque sólo sea a menor escala, se ubica en el corazón del razonamiento matemático. Consiste en el proceso de sentir o suponer que algo debería ser cierto, y de investigar acerca de su veracidad. […]
Cuando se cree que alguna propiedad es cierta, la conjetura correspondiente suele comenzar como una vaga sensación que brota de las profundidades de la mente. Gradualmente sale a la superficie, a medida que se trata de establecer con la mayor claridad posible, y se expone a la luz de la investigación. Si la conjetura es falsa, se rechaza o se modifica; si se justifica convincentemente, entonces toma su lugar dentro de la serie de conjeturas y argumentos que al final conformarán la solución. El acto de conjeturar puede ilustrarse como un proceso cíclico:
JOHN MASON
Tomado de John Mason, Leone Burton y Kaye Stacey (2017). Cómo razonar matemáticamente. Editorial Trillas, p. 89.
Mason, Burton y Stacey fueron docentes de enseñanza de las matemáticas en la Universidad Abierta del Reino Unido, la Universidad de Birmingham y la Universidad de Melbourne, respectivamente. En la obra aquí citada, escrita originalmente en 1982 y ampliada en 2010, describen los procedimientos esenciales de las matemáticas y proponen estrategias para contribuir a su entendimiento y aprehensión.
El reto de esta ocasión, adecuado para estudiantes de sexto de primaria en adelante, consiste en poner en práctica uno de los métodos más sólidos para demostrar conjeturas: la deducción. Se trata de ejercicios donde se enuncian hipótesis y se ponen a prueba con base en la descripción de sus respectivos problemas. Como además sirve muy bien para detonar la conversación y el contraste de ideas, es muy importante trabajar en equipos y luego disponer de tiempo para describir sus procesos de resolución.
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En una calle hay una casa azul, una roja y una verde. Una tiene 1 ventana, otra tiene 6 y otra más tiene 10. Una de las casas no tiene plantas, otra tiene 3 y otra más tiene 9.
Deduzcan cuántas ventanas y cuántas plantas tiene cada casa considerando lo siguiente:
La casa azul tiene más plantas que ventanas.
La casa roja tiene menos ventanas que la que tiene 3 plantas.
La casa verde tiene más plantas que la casa que tiene 6 ventanas.
La casa sin plantas tiene más ventanas que la casa azul.
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Una persona tiene 3 esculturas: una chica, una mediana y una grande. Una la compró con efectivo, otra con tarjeta y otra más la pagó una parte con efectivo y otra parte con tarjeta.
Averigüen el orden en el que compró las esculturas, su tamaño y cómo las pagó, tomando en cuenta estas otras consideraciones:
La primera escultura que compró era más pequeña que la que pagó con tarjeta.
La que compró con efectivo y tarjeta la adquirió después de comprar la mediana.
Usó efectivo para pagar la segunda escultura.
Soluciones
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La casa azul tiene 1 ventana y 9 plantas; la roja tiene 6 ventanas y no tiene plantas; la verde tiene 10 ventanas y 3 plantas.
Este es un posible razonamiento:
La casa sin plantas no puede ser azul (a) ni puede ser verde (c), entonces tiene que ser roja.
La casa roja puede tener 1 ventana o 6 porque si tuviera 10, contradeciría la condición (b). La casa azul tampoco puede tener 10 ventanas porque contradeciría la consideración (a), así que también puede tener 1 o 6. Esto quiere decir que la casa de 10 ventanas es la verde.
De (b) se deduce que la casa con 3 plantas puede ser azul o verde. Si la casa con 3 plantas fuera la azul (a), entonces la casa azul tendría 1 ventana (a), y la casa roja tendría 6 ventanas, de acuerdo con el punto anterior. Esto contradice el supuesto (b), por lo tanto, la casa con 3 plantas tiene que ser la verde.
Por la misma razón, la casa azul debe tener 1 ventana y la casa roja 6 ventanas.
Finalmente, la opción restante es que la casa azul tenga 9 plantas.
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La primera escultura es la mediana y la compró con efectivo; la segunda es la chica y la pagó con efectivo y tarjeta; la tercera es la grande y la compró con tarjeta.
No usó tarjeta para pagar la primera escultura (a), así que ésa la pagó en efectivo; entonces, la segunda la pagó con efectivo y tarjeta (c). Por lo tanto, la tercera la pagó con tarjeta.
Según el punto anterior, la segunda escultura la pagó con efectivo y tarjeta y la compró después de comprar la mediana (b), entonces la primera que compró fue la mediana. Esta escultura mediana es más pequeña que la pagada con tarjeta (a), o sea que la que pagó con tarjeta, la tercera, es la grande. Por lo tanto, la segunda es la chica.
Es muy probable que los equipos lleguen a la misma solución por otros caminos, lo cual sería una oportunidad de oro para conversar sobre la diversidad de métodos que existen para la resolución de problemas. Consideren además que el mero intento de entender el razonamiento de otras personas también ejercita el cerebro.
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Notas
* Maestra en Filosofía de la Ciencia. Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.- Imagen inicial: Shutterstock
- Portada del libro Cómo razonar matemáticamente.: Digitalización del original
CORREO del MAESTRO • núm. 321 • Febrero 2023