En los textos anteriores estudiamos los sistemas de fuerzas y destacamos sus direcciones como característica para su clasificación. Mencionamos que si todas las fuerzas aplicadas a un objeto poseen la misma dirección, el sistema se llama sistema de fuerzas colineales; y si las fuerzas aplicadas tienen direcciones que concurren en un punto, el sistema se denomina sistema de fuerzas concurrentes. Agregamos ahora un sistema donde las fuerzas son paralelas.

En la figura 1 se representan estos tres tipos de sistemas:

Ya sabemos calcular y representar la resultante de un sistema de fuerzas colineales: se suman o se restan según sean de igual sentido o de sentidos contrarios; también sabemos calcular y representar la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes: usamos la regla del paralelogramo.

Pero, ¿qué sucede cuando el sistema es de fuerzas paralelas? ¿Qué características tiene la resultante de un par de fuerzas paralelas?

Al igual que en el caso de las fuerzas colineales, para encontrar el valor de la resultante se suman si apuntan en igual sentido y se restan si los sentidos son opuestos. El sentido es el mismo que el de las componentes si todas apuntan en igual sentido, y es el de la mayor si poseen sentidos contrarios.

En cuanto al punto de aplicación, si ambas apuntan en igual sentido, éste se encuentra entre los puntos de aplicación de las componentes, más cerca de la mayor de las fuerzas. ¿Cuánto más cerca? En proporción inversa a la relación entre sus módulos.

Es decir, si la fuerza mayor (F₁) es el doble de la menor (F₂), el punto de aplicación está a la mitad de distancia que lo que lo está la otra.

Como se ve en la figura 2, a una fuerza más grande le corresponde una distancia más chica al punto de aplicación de la resultante. ¿Cuánto más chica? Para una fuerza del doble, una distancia de la mitad.

Los productos F x d son constantes, por lo que deben compensarse.

Para ubicar el punto de aplicación de la resultante en forma gráfica, se intercambian los segmentos de recta equivalentes a las longitudes de los vectores que representan a las componentes y se unen los extremos libres. El punto de corte con la horizontal corresponde al punto de aplicación de la resultante.

Si las fuerzas apuntan en sentidos contrarios, el punto de aplicación de la resultante no está entre el de las componentes, sino que se ubica fuera y del lado de la mayor. ¿A qué distancia de la mayor? También en proporción inversa a la relación entre sus módulos, o sea, los productos F x d también son constantes.

Puesto que la mayor (F₁) está más cerca de la resultante, la distancia a ella es menor. La más pequeña (F₂) está más lejos, pero su distancia a la resultante es mayor. El aumento de una de las variables (fuerza) en cierta proporción, se compensa con la disminución en igual proporción de la otra variable (distancia a la resultante).

Para ubicar el punto de aplicación de la resultante, nuevamente se intercambian los segmentos que representan a los vectores fuerza, pero esta vez no se unen los extremos libres, sino uno libre con otro sobre la recta horizontal que une los puntos de aplicación de las componentes. Las prolongaciones de estas rectas se cortan en un punto por el que pasa la resultante, como muestra la figura 3.

Un caso de especial interés es aquel en el que los módulos son iguales y las fuerzas paralelas poseen sentidos opuestos. En este caso, la resultante es nula.

Debería cumplirse, para esta situación particular, el equilibrio, pues hemos visto que cuando la resultante es nula, el cuerpo se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Sin embargo, veremos que esto no es así y que el hecho de que la resultante de un sistema de fuerzas sea nula, no es suficiente para que el cuerpo esté en equilibrio.

Lo que expusimos en los artículos anteriores señalaba la necesidad de que la resultante de las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo fuera nula para que éste se encontrara en equilibrio.

Pero, ¿es esa la única condición?

Imaginemos un bloque de madera sobre una mesa. Si aplicamos las fuerzas representadas en la figura 5, cuya resultante es nula pues poseen el mismo valor pero apuntan en sentidos contrarios, el bloque comenzará a moverse alrededor de un eje que lo atraviesa verticalmente y pasa por su centro.

Si el estado de reposo es alterado, quiere decir que no es suficiente que la resultante del sistema sea nula, porque en este caso lo es y el bloque comienza a girar. Es obvio que se necesita una condición más.

La segunda condición para el equilibrio (tanto estático como dinámico) se refiere a un concepto llamado momento.

Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo (dos fuerzas paralelas de igual valor pero de sentidos contrarios), el cuerpo comienza a rotar, y ese efecto de rotación será mayor cuanto mayor sean los valores de las fuerzas, pero también cuanto mayor sea la distancia perpendicular entre ambas. A esta distancia se le llama brazo del par.

Como se ve en la figura 6, el par de fuerzas puede aplicarse más cerca del centro de rotación, pero el bloque rotará con mayor dificultad.

Todos hemos intentado abrir una puerta empujándola cerca del eje en el que están las bisagras, y sabemos cuánto cuesta abrirla. El efecto de rotación es menor. No es casual que el fabricante de puertas coloque el picaporte lejos de las bisagras.

En el caso límite en que ese brazo fuera nulo, no habría efecto de torsión. Ambas fuerzas estarían así aplicadas con la misma dirección (ya no direcciones paralelas) y sentidos contrarios, y serían un sistema de fuerzas colineales de fuerzas de distintos sentidos.

Para contrarrestar este efecto de rotación o momento del par de fuerzas, es necesario agregar otro par de fuerzas que lo anule. Por ejemplo, como se ilustra en la figura 7:

Ahora tenemos dos pares de fuerzas con momentos opuestos, es decir, un momento resultante nulo.

Así, ésta es la segunda condición de equilibrio:

Esta nueva magnitud física llamada momento posee la siguiente expresión matemática:

La unidad de τ es la unidad de distancia, metros, multiplicada por la unidad de fuerza, newton:

Al aplicar este nuevo concepto al cuadro de la Beata, con la que hemos venido trabajando en toda la serie, advertimos que si las piernas fueran el bloque y ella no se agarrara del hombre, sus piernas rotarían: la parte de las piernas que se une a la pelvis bajaría hacia el suelo y ella caería sentada. Es como si las piernas de la Beata fueran una de las agujas de un reloj. El centro del reloj, donde está sujeta la aguja, correspondería a sus pies. El extremo libre de la aguja estaría en la pelvis de la Beata. Se requiere de otro momento contrario, que es el aplicado por la fuerza que hace el hombre, cuando ella, a través de su torso, se aferra a él.

Imaginemos, entonces, que las piernas de la Beata son el bloque del apartado anterior.

Vemos con claridad que algunas de las fuerzas aplicadas a los extremos (cintura y pies) producen momentos contrarios. Mirando la figura 8, algunas harían girar las piernas de la Beata en sentido horario y otras en sentido antihorario.

Aclaremos el efecto de torsión que producirían: las fuerzas que hacen los niños (roja), el peso (amarilla) y la normal (gris) harían girar las piernas de la Beata en sentido horario. Sin embargo, la fuerza de rozamiento (naranja) y la que ejerce el hombre (azul) producen momentos con efecto de giro antihorario.

La suma total de todos estos momentos debe ser cero para que la Beata no gire.

También se cumple, pues, la segunda condición de equilibrio.

Figura 8. Fuerzas aplicadas sobre la Beata

Para terminar, iniciaremos el análisis de otra obra en la que reconoceremos también las fuerzas existentes.

En la figura 9 se aprecia la obra del pintor mexicano Diego Rivera (1886-1957) llamada Cargador de flores, que realizó en 1935 y que alberga el Museo de Arte Moderno de San Francisco, en los Estados Unidos.

Figura 9. Cargador de flores, Diego Rivera, Óleo y acuarela sobre masonite, 1935

Empecemos dibujando el cuerpo por estudiar, libre de sus vínculos, tal como lo podría dibujar uno de los alumnos.

Podría ser algo parecido a la figura 10.

Esta vez se representarán todas las fuerzas actuantes sobre el objeto en cuestión.

Comencemos a reconocerlas.

Como siempre, la Tierra ejerce una fuerza vertical hacia abajo, llamada peso.

Además, hay una banda de tela atada a la espalda del cargador de flores, que, por la forma en que se tensa, parece que ejerce una fuerza casi horizontal, hacia la izquierda y levemente inclinada hacia abajo.

También se debe incluir la fuerza que ejerce la espalda, como superficie en la que la bolsa de flores está apoyada: la normal.

La superficie de la espalda ejerce asimismo rozamiento, que dependerá de lo rugosa que sean tanto la ropa del hombre como la propia bolsa de flores. La fuerza de rozamiento es paralela a la superficie que la ejerce, o sea, a la espalda del cargador de flores.

Se podría agregar una quinta fuerza: la mujer que ayuda al hombre a colocarse encima la bolsa de flores, está ejerciendo una fuerza hacia arriba, tratando de anular parte del peso.

Todo esto se representa en la figura 11.

Respecto a los valores de cada una de las fuerzas, no queda otra opción que estimar sus valores, o sea, dar su valor “a ojo”, pero sabiendo que estas cinco fuerzas deben tener resultante nula para que la bolsa se encuentre en equilibrio.

Debe cumplirse también que la normal sea perpendicular a la superficie de la espalda, que el peso sea vertical y la fuerza de rozamiento sea paralela a la espalda. Estas son condiciones restrictivas a la situación.

Parece que la fuerza mayor es el peso de la bolsa, por lo que también debe tener un valor considerable la normal (considérese que si la bolsa estuviera apoyada en el suelo, en reposo, la normal tendría el mismo valor que el peso para que la bolsa estuviera en equilibrio estático).

Respecto a la tensión, si bien la banda atada al cuerpo del hombre se ve tirante, no se observa deformación en su torso o brazos, por lo que no debe de poseer un valor muy alto. La fuerza de rozamiento tampoco debe de ser muy intensa, pues la ropa y la propia bolsa no poseen rugosidades considerables.

No se advierte que la mujer esté haciendo un esfuerzo intenso; se le ve colaborando con levantar la bolsa un poco, por lo que esa fuerza tampoco debe de ser de gran valor.

Se observa también, que el peso y la fuerza que ejerce la mujer hacia arriba, son colineales y de sentidos opuestos, por lo que podrían reducirse a una sola fuerza cuyo valor es la resta de ambas. Por ser el peso mayor, esta fuerza apuntaría hacia abajo. Le podríamos llamar “peso reducido”.

Tendríamos ahora dos pares de fuerzas por un lado, por ejemplo, el rozamiento y la tensión, y dos por el otro, el “peso reducido” y la normal.

Cada uno de estos pares debe poseer resultantes iguales en módulo y opuestas.

En la figura 13 hemos suprimido la fuerza que ejerce la mujer, pero disminuyendo el peso a su valor reducido.

En la figura 13 hemos suprimido la fuerza que ejerce la mujer, pero disminuyendo el peso a su valor reducido.

El paso siguiente es trazar los paralelogramos: uno tiene como lados del paralelogramo la normal y el peso; y el otro, el rozamiento y la tensión.

Se pueden elegir las parejas de otras formas: el rozamiento y la normal, con el peso reducido y la tensión. No obstante, el resultado debe ser el mismo: resultante de dos de ellas, igual y contraria a la resultante de las otras dos.

Finalmente, se dibujan las diagonales de los paralelogramos (vectores en negro) y advertimos que son iguales y opuestas, lo que implica que el cuerpo está en equilibrio.

Figura 15. La taza de café, serie Objetos flotantes Carmelo González Gutiérrez

Dejamos como tarea el análisis de las siguientes dos obras:

Una de ellas es del pintor cubano Carmelo González Gutiérrez y se llama La taza de café (integrante de la serie Objetos flotantes). Sugerimos tomar como objeto problema la taza de café que flota sobre el agua y sostiene un taburete.

Aconsejamos que antes de empezar el análisis de esta obra, se indague acerca de por qué un objeto flota. Una nueva fuerza llamada empuje deberá ser incluida en el análisis.

Por otro lado, se debe recordar que la Tierra sigue ejerciendo esa fuerza llamada peso, aun cuando los cuerpos se encuentren parcialmente sumergidos.

La otra obra es del colombiano Fernando Botero y se llama Mujer con los calcetines rojos y pantalones verdes en la cuerda floja, de la serie Circo.

Figura 16. Mujer con los calcetines rojos y pantalones verdes en la cuerda floja, serie Circo Fernando Botero

Como se observa, aparece una acróbata haciendo equilibrio sobre una cuerda. La acróbata es el objeto de análisis y deben encontrarse las fuerzas actuantes sobre ella.

Proponemos considerar la cuerda como si estuviera formada por dos segmentos: una cuerda a la izquierda del pie apoyado, y otra cuerda a la derecha.

Tampoco hay que olvidar en este caso el peso de la acróbata.

Los dejamos disfrutando de la tarea.

A lo largo de las cuatro partes de esta contribución se han incluido, además de conceptos simples que se pueden abordar con los alumnos de primaria, como el reconocimiento de fuerzas, sus direcciones y sentidos, la estimación de sus valores, otros que son de mayor complejidad. Estos últimos intentan dar mayor solidez al maestro en el tema, pero no pueden enseñarse a niños de edades tan tempranas.

Manifestamos la esperanza de haber contribuido a un mayor entendimiento del tema por parte del maestro y a que éste se anime a trabajarlo con sus alumnos de los últimos cursos de primaria, con un objetivo modesto: que los alumnos puedan reconocer fuerzas actuantes. ♦