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Durante el siglo XIX, las matemáticas empezaron a avanzar en una nueva dirección y su alcance se expandió más allá de los caminos trazados por los antiguos. Para éstos, las matemáticas proporcionaban un modo de hacer enunciados precisos acerca de cantidades, líneas, ángulos y puntos. Se dividían en aritmética, álgebra y geometría, y constituían una parte vital del currículum antiguo porque ofrecían algo que sólo la teología se atrevería también a proclamar: una visión fugaz dentro del ámbito de la verdad absoluta. El ejemplo más importante era la geometría. Era el instrumento más impresionante y potente creado por los matemáticos. Euclides creó un bello andamiaje de axiomas y deducciones que llevaban a verdades denominadas ‘teoremas’. Estas verdades llevaron a un nuevo conocimiento de los movimientos de los planetas, nuevas técnicas para la ingeniería y el arte; las más grandes ideas de Newton se alcanzaron por medio de la geometría.
La geometría no se veía meramente como una aproximación a la verdadera naturaleza de las cosas, sino que era parte de la verdad absoluta sobre el Universo. Como parte de unas sagradas escrituras, los grandes teoremas de Euclides se estudiaron en su lenguaje original durante miles de años. Eran perfectamente verdaderos, y ofrecían a los seres humanos un atisbo de verdades absolutas.
JOHN D. BARROW
Tomado de John D. Barrow (2017). El libro de la nada. Traducción de Javier García Sanz. Ciudad de México: Booket, p. 174.
John David Barrow es físico, matemático y divulgador de la ciencia de origen británico. Es profesor del Centro para las Ciencias Matemáticas de la Universidad de Cambridge en Inglaterra y director del Proyecto Matemáticas del Milenio, cuyos esfuerzos están orientados a enriquecer el entendimiento de la sociedad en este campo del saber.
En esta oportunidad, se propone un problema pensado para alumnos de bachillerato en adelante. Como en otras ocasiones, la riqueza de resolverlo no radica en encontrar soluciones correctas, sino en desarrollar estrategias útiles para llegar a ellas.
El siguiente reto se basa en un problema que Apolonio de Perga planteó hace más de 2200 años: encontrar un círculo tangente a tres círculos dados.
A partir de los discos negros que se muestran a continuación, la primera parte del reto consiste en encontrar al menos dos soluciones al problema de trazar dos círculos que sean tangentes a estos discos. No es necesario hacer los cálculos precisos, basta con estimar dónde deberían estar esos círculos.
La segunda parte consiste en decir cuántas soluciones tiene el problema y explicar por qué.
Soluciones
El problema tiene estas ocho posibles soluciones. Son todas las que hay porque son todas las formas en las que se pueden acomodar los discos negros en relación con el círculo rojo: todos afuera (una forma), uno afuera y dos adentro (tres formas), dos afuera y uno adentro (tres formas) y todos adentro (una forma).
Epílogo
De la vida de Apolonio se sabe poco. Se cree que nació alrededor del año 262 en Perga (hoy Turquía) y que murió en Alejandría, Egipto, alrededor del año 190 antes de Cristo. En el ámbito de las matemáticas, se le recuerda porque escribió el tratado sobre superficies cónicas (círculo, elipse, parábola e hipérbola) más completo e importante de la antigüedad. El problema de Apolonio tiene su origen en el libro de los elementos de Euclides (otro matemático griego de cuya vida tampoco se sabe mucho). En esta obra Euclides mostró la forma de trazar un círculo que pase por tres puntos dados y uno que sea tangente a tres líneas dadas. Encontrar el círculo que sea tangente a tres círculos dados es un problema más complejo que Apolonio resolvió en un libro llamado Tangencias, que se perdió en algún momento de la historia, pero que conocemos a través de uno de los trabajos que Pappus de Alejandría, el último gran geómetra de la antigüedad, publicó unos seiscientos años después.
NOTAS
* Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.- Imagen inicial: Shutterstock
- Portada del libro El libro de la nada: Digitalización del original