Cuestión de contar…O NO

Claudia Hernández García[*]

“ El tratado de aritmética de al-Jwarizmi es la primera obra en la cual el sistema de numeración decimal y las operaciones de cálculo efectuadas con él son objeto de una explicación especial. Después de exponer con todo detalle el sistema de posición decimal con ayuda de las cifras hindúes (y advirtiendo que algunas cifras se escriben de diferentes maneras), explica cómo nombrar los grandes números. Toma como ejemplo 1 180 703 051 492 863, el cual se ha de leer de la siguiente manera:

Un mil de mil de mil de mil y de mil,
un ciento de mil, de mil, de mil y de mil,
ochenta de mil, de mil, de mil y de mil,
setecientos mil de mil y de mil,
tres mil de mil y de mil
cincuenta y uno de mil y de mil,
cuatrocientos mil,
noventa y dos mil,
y ochocientos sesenta y tres.

   A continuación al-Jwarizmi explica las operaciones de cálculo. Para la suma y la resta, recomienda ir de izquierda a derecha, comenzando por la cifra de más alto rango (al revés de cómo se hace entre nosotros). Después, antes de entrar en la multiplicación y la división en general, trata de la división por dos (mediación) y la multiplicación por dos (duplicación). Con frecuencia se le ha reprochado el haber introducido estas operaciones particulares e innecesarias, que a través de él han pasado a casi todas las obras árabes y europeas medievales. Pero esta crítica es injusta. En primer lugar, porque al-Jwarizmi no podía ignorar que la duplicación y la mediación son casos particulares de la multiplicación y la división, y en segundo, porque con estas operaciones tan solo pretendía, muy posiblemente, facilitar posteriormente el cálculo de las raíces cuadradas.

”

RICARDO MORENO CASTILLO

Tomado de Ricardo Moreno Castillo, Al-Jwarizmi. El algebrista de Bagdad. Madrid: Nivola Ediciones, 2010, pp. 22-23.

Ricardo Moreno Castillo (n. 1950), de origen español, es filósofo e historiador de las matemáticas, especializado en matemáticas árabes. Actualmente trabaja como profesor en el Instituto Gregorio Marañón y en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

▼ Actividad
Actividad
En esta ocasión proponemos una actividad para alumnos de bachillerato en adelante. Pueden tratar de resolverla con ayuda de otra persona y después comparar las soluciones entre sí para ver qué tanto se parecen, no sólo las respuestas sino también las estrategias que siguieron para encontrarlas.

  1. ¿Cuál es el dígito que aparece más veces entre el 1 y el 100? ¿Cuál es el que aparece menos veces? Traten de responder a esta pregunta buscando un patrón en lugar de contar número por número.

  1. Hasta finales de 2014, las placas de los automóviles particulares en la Ciudad de México se expedían con tres números y tres letras, por ejemplo: 123-ABC. Cuando se agotó esta manera de combinar números y letras, se decidió sustituir el primero de los números por una letra y las nuevas placas se ven así: A12-ABC. ¿Con qué manera de combinar números y letras se va a generar la mayor cantidad de placas diferentes?

  1. El último reto consiste en colocar números del 1 al 5 en una cuadrícula de 4 x 4 a condición de que las filas, las columnas y las diagonales sumen 12, cada una. Cada número puede colocarse una o más veces y no es necesario que se utilicen todos.

▼ Soluciones


  1. Una manera de deducir una respuesta se obtiene de acomodar los números de la siguiente forma.



        Sin contar podemos afirmar que el 0 es el número que aparece menos veces porque mientras que los números del 1 al 9 aparecen en toda una columna y toda una fila cada uno, el 0 aparece en una sola columna, la de las decenas.

          En la tabla sin las decenas, todos los números aparecen las mismas veces: nueve en una fila y 10 en una columna. Así que para saber qué número aparece más veces en ambas tablas, hay que fijarse en la primera tabla. El único número que se repite además del 0 es el 1.

  1. Con la nueva manera de combinar números y letras se obtendrán más placas diferentes. Para comprobarlo no es necesario hacer el conteo, basta con fijarnos que si utilizamos números para la primera posición, sólo tenemos nueve opciones posibles (serían 10 si se utiliza el 0); mientras que con el uso de letras tenemos 24 opciones (27 si se utilizan también la I, la Ñ y la O). Las condiciones para las otras cinco posiciones son las mismas en ambas formas de combinar los números y las letras, así que no es necesario fijarnos en ellas.


  1. Este reto tiene más de una solución, aquí están dos de ellas. La primera es muy inmediata y no hace falta ni contar columna por columna ni fila por fila para ver que todas suman 12. La segunda sí ocupa los 5 números y es preciso verificar las sumas.

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NOTAS

* Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.
▼ Créditos fotográficos

- Imagen inicial: commons.wikimedia.org

- Portada de libro Al-Jwarizmi. El algebrista de Bagdad.: Digitalización del original