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La generalización y la abstracción de la geometría constituyeron un avance muy bien acogido, pero en la década de 1870 la proliferación de geometrías parecía escaparse totalmente de las manos. Además de todas las geometrías no euclidianas ya mencionadas [la elíptica y la hiperbólica], existía una abigarrada colección: la geometría proyectiva (que trata de las propiedades de las figuras geométricas según la proyección, como cuando se proyecta la imagen de una película de celuloide en un pantalla de cine); la geometría conforme (que trata de las compactaciones de espacios que preservan los ángulos); la geometría diferencial (el estudio de la geometría por medio del cálculo), y otras muchas. Si como creía Platón «Dios es un geómetra», ¿cuál de todas estas geometrías conseguirá la aprobación divina? Éste era el punto en el que el joven de veintitrés años Felix Klein acudió al rescate con su planteamiento de la teoría de grupos, y el orden comenzó a cristalizar a partir del caos.
[…] Antes de Klein, los matemáticos pensaban básicamente en términos de objetos geo-métricos tales como círculos, triángulos y sólidos. En lugar de ello, Klein sugirió […] que la propia geometría se caracteriza y se define no por los objetos, sino más bien por el grupo de transformaciones que la deja inalterada. […] Dos triángulos que se superponen exactamente […] siguen siendo coherentes aunque los sometamos a traslación, rotación o reflejo. Sin embargo, la radical idea de Klein permitía la existencia de una variedad mucho más amplia de geometrías. Otras transformaciones, como torcer o estirar los objetos, podían definir nuevas geometrías. En otras palabras, el concepto unificador básico, vertebrador de toda geometría, es el grupo de simetría. […] De acuerdo con Klein, lo que los matemáticos tienen que hacer para definir una geometría es ofrecer un grupo de
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transformaciones e identificar el conjunto de entidades que permanecen inalteradas de acuerdo con esas transformaciones.
MARIO LIVIO
Mario Livio (2017). La ecuación jamás resuelta. Cómo dos genios matemáticos descubrieron el lenguaje de la simetría. Traducción de Blanca Ribera de la Madariaga. Editorial Ariel, pp. 212-213.
Mario Livio (1945) es un matemático y astrofísico israelí-estadounidense que ha escrito varios libros de divulgación de la ciencia. Su obra La proporción áurea. La historia de phi, el número más enigmático del mundo ganó en 2003 el Premio Peano en Italia y también el Premio Internacional Pitágoras de libros populares de matemáticas.
El reto de esta ocasión está pensado para estudiantes de tercero de primaria en adelante. Sugerimos que les propongan resolverlo en colaboración con alguien más y luego que compartan cómo lo lograron y qué les pareció trabajarlo con otra persona.
Observen la siguiente imagen en forma de luna y resuelvan lo que se pide.
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Usen una línea recta para dividir la luna en dos partes iguales. Expliquen por qué consideran que son iguales esas partes.
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¿Se puede también dividir en dos partes iguales con una línea horizontal? ¿Por qué sí o por qué no?
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Utilicen una línea recta para dividirla en tres secciones
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Con dos líneas rectas dividan la luna en 4, luego en 5 y finalmente en 6 secciones.
Soluciones
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La última imagen puede servir para continuar la conversación sobre el eje de simetría vertical que tiene la luna.
Notas
* Maestra en Filosofía de la Ciencia. Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.- Imagen inicial: Shutterstock
- Portada del libro La ecuación jamás resuelta. Cómo dos genios matemáticos descubrieron el lenguaje de la simetría: Digitalización del original
CORREO del MAESTRO • núm. 319 • Diciembre 2022