Panales
Claudia Hernández García [*]
“ Un matemático griego, Papus de Alejandría, allá por el año 300, se hizo la siguiente pregunta: ¿saben matemáticas las abejas? Se hacía esta pregunta al observar la forma hexagonal que tienen los panales de las abejas. Estos insectos tienen que resolver un problema: necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes, ya que deben aprovechar el espacio al máximo, y eso sólo pueden hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué utilizan entonces los hexágonos, si son más difíciles de construir?
Estamos ante un problema geométrico de altura. Papus demostró que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, aquellos que tienen mayor número de lados, poseen más área. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.
Eso explica que las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal (con círculos no podrían cubrir todo el espacio). Con estas celdillas hexagonales gastan la misma cantidad de cera y consiguen la mayor superficie posible para guardar su miel.
Sin dudas, la naturaleza es sabia, pero también es matemática […]
”
ALBERTO COTO GARCÍA
Tomado de Alberto Coto García (2011). Matemáticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente. Naucalpan [México]: ST Editorial, pp. 13-14.
Alberto Coto García es licenciado en Ciencias del Trabajo, asesor financiero y contador de origen español. También es una de las personas más rápidas del mundo para hacer cálculos mentales; entre 2004 y 2010 obtuvo siete campeonatos mundiales y en 2008 ganó tres medallas en la Olimpiada del Deporte Mental en Estambul. Además, es considerado un referente mundial en el campo de las técnicas de fortalecimiento de la mente.
▼ Actividad
| Actividad |
| Los retos de esta ocasión están pensados para que los respondan alumnos de secundaria en adelante. Se sugiere que comparen sus respuestas con las de otras personas para ver qué tanto se parecen. |
Los únicos polígonos regulares con los que se puede cubrir una superficie de forma que no queden huecos y las piezas no se traslapen son el triángulo, el cuadrado y el hexágono, como bien dice Alberto Coto. ¿Podrías explicar por qué? En los panales de abejas podemos encontrar diferentes polihexes, es decir, configuraciones de hexágonos. Un monohexe es un hexágono solo. Un dihexe son dos hexágonos unidos por cualquiera de sus lados.
Éstos son los tres trihexes que hay.
Como imaginarás, los tetrahexes son configuraciones de 4 hexágonos. El reto consiste entonces en encontrarlos todos. Para el último reto hay que identificar todos los tetrahexes posibles en el siguiente panal. Las piezas pueden rotarse o voltearse sin problemas.
▼ Soluciones
Cubrir el plano con polígonos regulares es como tapizar el piso con mosaicos iguales: vamos colocando los polígonos o mosaicos alrededor de un punto o esquina y lo hacemos cuidando que sus lados coincidan perfectamente. Como alrededor de un punto hay 360°, para cubrirlo sin dejar huecos y sin traslapes es necesario que los ángulos de los polígonos sumen exactamente 360°. Ahora, los ángulos internos de un polígono regular son iguales, si suman 360° es porque son múltiplos de 360°, y los únicos polígonos regulares que tienen esta característica son el triángulo equilátero –que tiene ángulos de 60°–, el cuadrado –con ángulos de 90°– y el hexágono –con ángulos de 120 grados.
Cualquier otro polígono regular dejaría huecos o traslapes. El pentágono regular, por ejemplo, tiene ángulos internos de 108°, por lo que con tres pentágonos no rellenamos el espacio alrededor del punto (sólo cubrimos 324 de los 360°) y con cuatro pentágonos nos pasamos (estaríamos cubriendo un ángulo de 432°). Los siguientes son los 7 tetrahexes posibles:
El tercero y el cuarto tetrahexes pueden causar algo de controversia porque tienen una configuración simétrica que parece ser distinta, pero en realidad es equivalente.
En seguida hay una posible solución. ¿Habrá otras?
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NOTAS
* Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.
▼ Créditos fotográficos
- Imagen inicial: Maja Dumat / Creative Commons 2.0
- Portada de Matemáticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente: Digitalización del original.
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