Los números son ideas, ideas que existieron incluso antes de que se les diera un nombre, como sugiere la arqueóloga Karen Leigh Overmann. Los utilizamos para representar cantidades simbólicamente y, como las cantidades más simples se asociaban con objetos tangibles, los primeros números que se usaron y se definieron fueron los números naturales. Este conjunto de números comienza en el número 1, al que llamamos la unidad. Si a esta unidad le sumamos otra, obtenemos el número 2. Luego, si sumamos una unidad al número 2, obtenemos el número 3, y así sucesivamente: cada nuevo elemento se construye al sumar la unidad al número inmediato anterior. Al conjunto de los números naturales se le denota por medio de un símbolo , que semeja una N mayúscula.

El conjunto de los números naturales tiene una propiedad que usamos todos los días y que nos facilita la vida: el principio del buen orden, que en matemáticas se define como la propiedad de tener un primer elemento. Esto es particularmente útil cuando contamos porque todos lo hacemos empezando por el 1, y esto es algo en lo que no tenemos que ponernos de acuerdo. Si cada persona empezara contando desde diferente número, podríamos generar tremendas confusiones. Por ejemplo, ante 5 vacas, una persona que empieza a contar desde el 1, cuenta 5 vacas, pero una que empieza en el 2, contaría 6, y una que empieza en el 7, contaría 11. El buen orden de los números naturales nos da la confianza de saber que el conteo de un conjunto es independiente de la persona que hace ese conteo.

Vale la pena mencionar que a veces no contamos las cosas de un conjunto, sino que hacemos una estimación; por ejemplo, cuando queremos saber cuántas personas asistieron a un concierto en el zócalo de Ciudad de México. A diferencia del conteo, la estimación sí depende de quien la hace, pero esa es otra historia.

Los beneficios del orden no acaban ahí: para cualesquiera dos números naturales, siempre es posible determinar que uno es mayor que el otro. Esta propiedad la usamos inconscientemente cuando buscamos una dirección. Piensen en cuando ven el número de una casa, pero las casas de alrededor no tienen el número en la fachada. En principio no saben para dónde caminar, hasta que ven otro número y lo comparan con el anterior para determinar el sentido de la numeración. Por ejemplo, si vieron el 24, caminaron hacia el norte y luego se toparon con el 36, entonces pueden tener por seguro que, si continúan caminando hacia el norte, los números en las casas van a ser mayores cada vez. Lo que naturalmente harían después es revisar el número que estaban buscando y determinar si es menor que 24 para caminar hacia el sur o caminar más al norte si ese número es mayor que 36.

Ahora piensen en este otro caso. Si ven un local con el número 8, el contiguo sin número y el que sigue tiene el número 10, entonces pueden suponer con toda seguridad que al local del centro le corresponde el número 9. ¿Qué pensarían en el caso de encontrar dos locales sin número entre el 8 y el 10? Puede ser que uno de esos locales sea el 9a y el otra sea el 9b o que se trate de un error en la numeración. El orden de los números nos resulta tan natural, que ya ni siquiera lo cuestionamos y más bien lo utilizamos en nuestro beneficio.

Una última característica del orden de los números naturales es que podemos tener la seguridad de que, entre dos números consecutivos, no va a haber ninguno intermedio. ¿Recuerdan que para ir a Hogwarts los magos tenían que abordar el tren en la plataforma y que, cuando Harry preguntó por ella, los oficiales de la estación pensaron que estaba bromeando? Esta actitud se justifica porque solemos asignar números enteros a los objetos, las plataformas en este caso, y sería ilógico que hubiese una plataforma entre la 9 y la 10, a menos que esa plataforma tuviera una designación especial.

Hasta aquí no se ha mencionado el cero, y es porque usualmente no se le considera un número natural debido a que no empezamos a contar a partir de él. Aunque sí se le podría considerar un número natural porque se puede decir “tengo cero” de algo y esto equivale a decir que no se tiene ese algo; por ejemplo, cuando alguien dice tener cero pesos en su cuenta de banco. Hoy en día, para evitar confusiones, al conjunto que se compone de los números naturales y el cero se le denota con el símbolo .

En matemáticas, el cero es una cantidad concreta, definida unívocamente, pero en el lenguaje cotidiano puede tener un significado más holgado. Por ejemplo, tener cero tolerancia a la frustración puede significar que no podemos toparnos con la frustración ni por equivocación, aunque también puede ser que sí la toleremos, pero sólo un poquito. En realidad, no importa qué tan poquito, lo que importa es que ese poquito no es cero.

La palabra cero proviene de la palabra shunya, que significa ‘vacío’ en sánscrito. Desde los tiempos de Aristóteles hasta bien entrado el siglo XVII, muchas discusiones filosóficas versaron sobre la nada y el vacío. ¿Realmente podía existir el vacío? Si no lo vemos, ¿cómo sabríamos que está ahí? Muchos filósofos se negaban a aceptar la existencia del vacío y, por lo tanto, les parecía absurdo que hubiera la necesidad de representarlo simbólicamente. Esta negación del vacío se extendió a otras disciplinas y por eso muchas pinturas, mapas y todo tipo de imágenes terminaron saturadas de elementos con tal de no contener espacios vacíos.

Ni los griegos ni los romanos incluyeron el cero en sus respectivos sistemas de numeración. Los babilonios y los mayas, y al parecer también los egipcios, sí tenían un símbolo para el cero, pero carecía de valor numérico, sólo se usaba como posicionador para representar espacios en blanco. El cero que conocemos hoy en día, con un valor numérico, una posición en la recta numérica y reglas para hacer operaciones con él fue introducido por el matemático indio Brahmagupta en el siglo VII de nuestra era.

Las reglas para operar con el cero no son las mismas que para el resto de los números, y es que este número es de una naturaleza distinta. En su libro Cero. La biografía de una idea peligrosa, el matemático y periodista estadounidense Charles Seife hace una analogía entre la multiplicación y una liga. Cuando multiplicamos por 1, la liga se mantiene sin tensión alguna. Multiplicar por un número mayor que uno es como si estiráramos la liga; por ejemplo, al doble de su tamaño al multiplicar por 2, lo que hace que la distancia entre dos números de la liga sea el doble de la distancia de esos mismos números sobre la recta numérica. Cuando multiplicamos por un número menor que 1, la liga se encoge; si multiplicamos por , la distancia entre dos números de la liga es la mitad que la distancia entre esos mismos números en la recta numérica, por ejemplo. ¿Pero qué pasa si multiplicamos por 0? La liga deja de existir, se reduce a un punto, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0.

Ahora fíjense en esta demostración de que 2 es igual a 1. De inmediato sabemos que debe haber un error porque ¡2 no puede ser igual a 1! Pongan atención en lo que pasa en el cuarto y quinto paso. Si a y b son iguales como supusimos, a – b es igual a 0. ¿Y se vale dividir entre 0? No, y esto es porque podemos obtener resultados absurdos como la siguiente:

Quizá hoy en día ya no tenemos esa aversión al cero, pero seguimos dándole un lugar que no es el natural. En los teclados de los teléfonos o los cajeros o las alarmas de seguridad, ¿dónde está el 0, antes del 1 o después del 9? Incluso las teclas numéricas de nuestras computadoras van del 1 al 0, lo que coloca al cero en el lugar que realmente le corresponde al 10.

Otro ejemplo, quizá más interesante, es la controversia que vivimos en el año 2000 sobre cuándo debería empezar el nuevo milenio. Ésta se suscitó porque no tenemos un año 0, del 1 a. C. pasamos al 1 d. C. Esto quiere decir que los primeros mil años de nuestra era corrieron del año 1 al año 1000 y los siguientes mil corrieron del 1001 al 2000, o sea que el tercer milenio empezó en el año 2001, no en el año 2000 como muchas personas sugerían.

A veces necesitamos decir no cuántas cosas tenemos, sino cuántas cosas no tenemos. Así como solemos asociar cantidades positivas con los números naturales, a las cantidades que denotan faltantes o pérdidas las asociamos con números negativos. Estos números usualmente se escriben como cualquier número natural precedido de un guion o signo de menos. Por ejemplo, si n representa un número positivo, –n sería el negativo correspondiente. Las cantidades negativas las usamos todo el tiempo para referirnos a temperaturas muy frías que caen abajo del cero, cuando tenemos deudas o si hacemos un balance financiero y nos damos cuenta de que gastamos más de lo que ganamos. Son esas cantidades a las que solemos llamar números rojos.

Al unir todos los números naturales, los números negativos y el cero, conformamos el conjunto de los números enteros, que se denota con el símbolo , una especie de Z mayúscula y letra inicial de la palabra Zahl, que significa número en alemán.

Los números enteros van desde el menos infinito hasta el infinito . A diferencia de los números naturales, los números enteros no tienen un primer elemento. Aun así, decimos que el conjunto de los números enteros está ordenado porque, al igual que con los números naturales, podemos determinar si un elemento es mayor o menor que otro y porque sabemos que no hay ningún número entero entre dos consecutivos.

Los números enteros se pueden sumar, restar y multiplicar y siempre se va a obtener un número entero. Cuando dividimos dos números enteros, podemos obtener otro número entero, como cuando dividimos 4 entre 2, o uno fraccionario, como cuando dividimos 2 entre 4. A los números de este segundo tipo se les llama números racionales y este conjunto se denota con el símbolo , una Q mayúscula por la palabra Quotient, que significa ‘cociente’ o ‘división’. Los griegos solían referirse al cociente entre dos números como una razón, idea que proviene de la voz latina ratio, y por eso les llamamos racionales. Los números enteros también son números racionales porque todos se pueden escribir como una fracción que tiene en el denominador al número 1.

Los números racionales los utilizamos todo el tiempo, por ejemplo: para medir distancias, como cuando decimos que alguien mide metro y medio; para cocinar, como cuando una receta requiere taza de harina; e incluso para decir la hora, como cuando decimos que son cuarto para las 10. Podemos escribirlos como un cociente o como el resultado que se obtiene de esa división, por ejemplo, podemos decir o 0.75. Un número racional puede no tener decimales, como en el caso de los números enteros; tener un número finito de decimales, como en el caso de que es igual a 0.75; o tener un número infinito de decimales, como con , que es igual a 0.333333… (los puntos suspensivos significan que los decimales continúan indefinidamente).

Un cuarto tipo de números son los irracionales, aquellos números que no se obtienen de un cociente y se denotan con el símbolo , que semeja una letra I mayúscula. En este conjunto de números hay una cantidad infinita de elementos y, sin embargo, sólo hay unos cuantos famosos: o fi, que representa la razón áurea; , que denota la relación entre la circunferencia y el diámetro; y e, al que también se le llama número de Euler, que tiene un valor aproximado de 2.7182… y se utiliza para calcular intereses, para describir cómo crecen nuestras células, para tener idea de qué pasará con una reacción química, para calcular la hora de fallecimiento de una persona y para estimar la edad de objetos por medio de la técnica de carbono 14, entre otros usos.

Las raíces cuadradas de muchos números naturales también son números irracionales, pero no en todos los casos. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2, y 2 no es un número irracional, pero la raíz cuadrada de 2 sí lo es. De hecho, detrás de hay una leyenda que dio origen a esta nueva clasificación para los números.

Si se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad cada uno, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de esos dos catetos debe ser igual a un número cuadrado, o bien 12 + 12 = a2. Al despejar la a, obtenemos: 2 = a2 o bien = a. Esto quiere decir que debe existir un número cuyo cuadrado es igual a 2.

Para los pitagóricos, todos los números debían poder escribirse como un cociente entre dos números, así que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, se dio a la tarea de buscar los dos números cuyo cociente fuera igual a . No sólo no los encontró, sino que demostró que esos números no pueden existir, y así demostró que no podía ser un número racional. Cuenta la leyenda que la reacción de sus compañeros no fue de júbilo, sino de horror al descubrir números que podían escapar a la razón. Los pitagóricos juraron secrecía respecto de este descubrimiento y a Hipaso se le silenció ahogándolo en el mar.

Finalmente, los números racionales e irracionales conforman el conjunto de los números reales, que se denota por el símbolo , que semeja una R mayúscula. Decimos que todos los números reales son o racionales o irracionales porque el conjunto de los números racionales incluye al cero, al de los naturales y al de los enteros.

¿Y ya son todos los números? No. Hacia 1572, el matemático italiano Rafael Bombelli publicó un libro de álgebra en el que mostraba cómo hacer aritmética con números cuyo cuadrado era un número negativo. Esta publicación fue revolucionaria porque hasta ese entonces no se podía concebir que el cuadrado de un número pudiera ser negativo, ya que cualquier número elevado al cuadrado, positivo o negativo, resulta en número positivo. Años más tarde, en 1637, el matemático francés René Descartes llamó imaginarios a estos números. Finalmente, en 1777, el matemático suizo Leonhard Euler denotó a con una letra i. Tanto Descartes como Euler se referían a estos números como imaginarios para contrastarlos con los reales, que sí existían en la realidad, aunque se puede decir que los números imaginarios también existen porque son soluciones de ecuaciones como esta: x2 + 1 = 0, que nos lleva a x2 = –1 y luego a x = .

Si metemos en un mismo conjunto los números reales, los números imaginarios y la combinación de estos dos tipos de números, obtenemos el conjunto de números complejos. Estos son ejemplos de números complejos (por lo general siempre se escribe primero la parte real y luego la imaginaria):

Esta historia de los números es interesante porque lleva a preguntarnos qué fue lo que nos facultó para contar números inmensamente grandes e incluso inventar números no-naturales, además de poder hacer operaciones aritméticas con ellos. La respuesta está en nuestro cerebro.

Por medio de imágenes de resonancia magnética se ha podido observar la región del cerebro que se activa cuando una persona maneja números o realiza operaciones aritméticas. Para sorpresa de muchas personas, no fue la corteza prefrontal, que es una región que se desarrolló mucho más en los humanos que en cualquier otra especie de animales y que es en donde se llevan a cabo los procesos cognitivos complejos. La región que se activa es una hendidura llamada surco intraparietal, localizada en el lóbulo parietal. Este hecho es interesante porque se trata de una región que también existe en otras especies. En los monos, por ejemplo, esta región asimismo se activa cuando tienen que llevar a cabo una tarea numérica como el discernir si dos conjuntos de puntos representan cantidades distintas.

Regresando a los humanos, las investigaciones han podido acotar la región del procesamiento numérico a un segmento de la hendidura denominado surco intraparietal horizontal y han mostrado, una y otra vez, que estos surcos se encienden en ambos hemisferios del cerebro. Este hecho contradice la creencia popular de que el hemisferio izquierdo es el encargado de la rigurosidad lógica y el procesamiento numérico, mientras que en el hemisferio derecho se procesan las emociones y la creatividad. En diversos experimentos se ha podido observar que estas regiones se activan cuando las personas llevan a cabo una tarea relacionada con la percepción de cantidades y la discriminación entre ellas, por ejemplo, para determinar si alguna es más grande que la otra, pero también al ver números impresos o escuchar números hablados. Como si esto fuera poco, también han observado que los surcos se iluminan con diferente intensidad en función de la complejidad de la tarea. Fíjense, por ejemplo, en estas parejas de números y digan cuál de los números es el mayor en cada caso.

Si nuestro cerebro fuera escaneado mientras hacemos esa reflexión, los surcos intraparietales se iluminarían con mucha menos intensidad mientras computamos la primera pareja que cuando computamos la segunda. Aunque el proceso de discernimiento es prácticamente el mismo, es más fácil identificar una unidad de diferencia en números pequeños de lo que es identificarla en números más grandes. Este hecho queda mucho más claro si lo vemos con puntos y no con numerales.

El sicólogo alemán Tobías Dantzig llamó sentido numérico a esa capacidad de reconocer y operar con los números, independientemente de qué tan buenos seamos con las cuentas. Las imágenes de resonancia magnética han venido a corroborar lo que se sospecha desde hace décadas: que ese sentido numérico tiene un componente neurobiológico que los seres humanos compartimos con otras especies animales. Aunque, a diferencia de éstas, los humanos tuvimos y seguimos teniendo la capacidad de expandir el alcance de ese componente gracias a otra cualidad que sólo los humanos tenemos, el lenguaje. El antropólogo estadounidense Caleb Everett argumenta que esta expansión fue posible gracias a que pudimos asociar las cantidades a los símbolos que las representan y verbalizar esos símbolos, es decir, porque pudimos crear los números y socializarlos.

Solemos confundir matemáticas con aritmética porque las cantidades y el conteo son de las manifestaciones matemáticas más naturales, tanto desde una perspectiva histórica como en lo cotidiano. Usamos números para describirnos: cuántos familiares tenemos, qué año nacimos, cuánto medimos, qué número es nuestra casa, y un largo etcétera. Los números son representaciones simbólicas de cantidades y se inventaron para resolver necesidades prácticas, de las cuales, contar es sólo una. El concepto de número se construyó a lo largo de miles de años y ello fue posible porque nuestro cerebro está cableado para reconocer y computar cantidades, así como para clasificar estas cantidades a partir de las características que tienen en común.

Si bien una abrumante cantidad de personas considera no poder con las matemáticas, para entre 5 y 7 por ciento del conjunto de estudiantes en edad escolar esa dificultad va mucho más allá de la frustración. Estas personas podrían padecer de discalculia o trastorno del cálculo, un trastorno del aprendizaje clasificado según el Manual Estadístico de Trastornos Mentales (DMS-IV) en la misma categoría que el de la lectura y el de la expresión escrita. Estas personas requieren de un diagnóstico sicológico y de terapias especialmente diseñadas para mejorar su calidad de aprendizaje.

Aun cuando necesitemos de un impulso terapéutico, todas las personas podemos reconocer las características de las cantidades y apoyarnos del sentido numérico para nuestro beneficio. Así como casi todas las personas tenemos la capacidad para correr y con entrenamiento podríamos hacerlo cada vez más rápido, el sentido numérico se puede afinar y mejorar con práctica y dedicación, y con ayuda de las matemáticas recreativas.♦

EVERETT, Caleb (2018). Los números nos hicieron como somos. Crítica.

ENZENSBERGER, Hans Magnus (2015). El diablo de los números: un libro para todos aquellos que le temen a las matemáticas. Ediciones Siruela.

PAULOS, John Allen (2016). El hombre anumérico. Tusquets Editores.

SEIFE, Charles (2006). Cero. La biografía de una idea peligrosa. Ellago Ediciones.

STEWART, Ian (2016). Números increíbles. Crítica.